Fulham gjestet Anfield onsdag, men måtte dra tomhendt hjem etter å ha kjempet hardt.
Begge lag skapte flere store sjanser i første del av første omgang, og de rødes målvakt Alisson bidro med to kjemperedninger.
Kampens eneste mål kom på straffespark.
En klønete Issa Diop forårsaket straffen etter 38 minutter. Han tok seg altfor lang tid med ballen og sparket Darwin Núñez isteden for ballen.
Mohamed Salah satte straffen høyt i midten av nettveggen og hjemmelaget kunne juble for sin femte seier på rad i Premier League.
Liverpool ligger på femteplass på tabellen, fem poeng bak Manchester United som har to kamper mindre spilt.
Fulham ligger midt på tabellen på en tiendeplass.